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2011数字信号处理II课程论文

AR模型谱估计的性能比较

摘要:功率谱估计是分析随机信号的一种重要方法。通过分析AR模型功率谱估计,介绍AR模型参数提取的自相关法、Burg法和修正协方差法,并利用计算机仿真比较其性能。

关键词:AR模型;功率谱估计;自相关法;Burg法;修正协方差法;

1引言

功率谱估计是从频域分析随机信号的一种方法,它是现代数字信号处理的重要研究内容之一,对于认识一个随机信号具有非常重要的作用。功率谱估计一般可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)两种方法。经典谱估计在工程中都是以DFT为基础,将数据观测区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,具有分辨率低、功率泄漏、频谱混叠等固有缺点,不适合处理短数据。为此人们提出参数谱估计的方法,不简单地将观测区外数据假设为零,而是根据对过程的先验知识,建立一个近似实际过程的模型,而后利用观测数据或相关函数来估计假设的模型参数,最后进行识别或谱估计,回避了数据观测区以外的数据假设问题,从而避免功率泄漏,提高了分辨率。因此,参数法是基于模型的功率谱估计。

目前常用的功率谱估计模型有:ARMA模型、AR模型、MA模型。根据Word分解定理,三种模型可以互相表示,而对AR模型参数的估计得到的是线性方程,计算比较简便,而且实际的物理系统往往是全极点系统,所以基于AR模型的功率谱估计是现代谱估计中最常用的一种方法。在利用AR模型进行功率谱估计时,必须计算出AR模型的参数。目前这些参数的提取算法主要有自相关法、协方差法、Burg法和修正协方差法四种。本文分别利用这四种算法提取AR模型参数,进而进行功率谱估计,对得出的结果进行分析比较,从而研究算法的性能。

2基于AR模型的功率谱估计

AR模型又称为自回归模型,建立如下的信号模型:假定所观测的数据是由一个均方误差为的零均值白噪声序列激励一个全极点的线性时不变离散时间系统得到的。用差分方程表示为



其中,p是AR模型的阶数,是p阶AR模型的参数。将该模型记为,它的系统转移函数为



在功率谱估计中,若观测的数据是平稳随机过程,则该系统的输入也可认为是平稳的,因而根据线性系统对平稳随机信号的响应理论可得观测数据的功率谱为



由式(3)可知,利用AR模型进行功率谱估计的实质是求解模型系数和的问题。

3 AR模型参数提取算法

将式(1)两端乘以求平均(数学期望),可以求得观测数据的模型参数与自相关函数的关系式为



可见,p阶AR模型输出的相关函数具有递推的性质,因而选用AR模型进行谱估计只需较少的观测数据。

将式(4)写成矩阵形式得



上式就是著名的Yule-Walker(Y-W)方程。它表明,只要已知观测数据的自相关函数,就能求出AR模型参数和,进而按式(3)求得信号功率谱的估值。

另外,从AR模型的差分方程式可知,该模型的现在输出值是它本身过去值的回归,这与预测器存在着一定的相似性,它们之间有着非常密切的关系,即它们的系统函数互为倒数,也就是说预测误差滤波器就是AR信号模型的逆滤波器。因此通过预测误差滤波器优化设计使预测均方误差最小就可求得AR信号模型的最优参数,即p阶线性预测器的预测系数等于p阶AR模型的系数,其最小均方预测误差等于白噪声方差。

因此,根据上述的Y-W方程以及AR模型与预测误差滤波器之间的关系,就可提取AR模型参数。目前主要有四种:自相关法、协方差法、Burg法和修正协方差法及最大似然估计法。由于与改进协方差法相比,协方差法是令前向误差功率最小,其他步骤完全相同;最大似然法的推导比较繁琐,实际应用中较少采用。所以本文只讨论自相关法、Burg 算法与改进协方差法。

3.1 自相关法

自相关法是使序列的前向预测误差功率最小,它是AR模型参数求解中最简单的一种方法。在实际应用中,自相关函数值只能根据有限的数据记录去估算。为保证自相关矩阵的非负定性,一般选择有偏估计计算自相关函数,即



自相关法的计算过程为:

① 由估计的自相关函数,得到,;

② 用代替Levinson-Durbin递推算法中的,这时求出的AR模型参数是真实参数的估计值,即;

Levinson-Durbin快速算法:



③ 将这些参数代入(3)式功率谱表达式,得到的功率谱的估计,即:



对在单位圆在均匀抽样,设分点为个,则得到离散谱



式中,而。这样,上式可用FFT快速计算。

自相关法又叫Yule-Walker法,这是因为如果用自相关法对数据开窗(人为假定已知数据段之外的数据为 0),其结果与使用有偏自相关函数估计的Yule-Walker法等效。

3.2 Burg法

Burg 算法不是直接估计AR模型的参数,而是先估计反射系数,再利用 Levinson关系式求得AR模型参数。估计反射系数所依据的准则是使前向预测误差功率和后向预测误差功率的算术平均值达到最小,即:



由(10)式可知,和的求和范围是,对已知数据段之外的数据不作人为假设,即和前后都不加窗。

Burg 算法的实现步骤为:

① 由初始条件和反射系数公式求出,其中初始条件和反射系数公式分别为:





② 由序列的自相关函数值,求出阶次时的 AR 模型参数与前后向预测误差功率之和;

③ 由和下式求出和,再由式(12)估计反射系数;



④ 按照(7)式 Levinson 递推关系,求出阶次时的 AR 模型参数及;

⑤ 重复上述过程,直到,求出所有阶次时的 AR 参数。

3.3 改进的协方差法

虽然改进的协方差方法与 Burg 法一样,仍是使前后向预测误差功率之和最小,但是改进的协方差方法不是使相对于反射系数最小,而是使相对 AR 模型参数都为最小,即:



得到改进的协方差方法的正则方程为:





其中为最小预测误差功率,( )为协方差,其表

达式为:



由于不能写成的函数,所以式(17)的系数矩阵不是Toeplitz阵,因此这个正则方程不能用Levinson法求解,可以通过Marple算法或Cholesky分解算法求解。

3.4 四种参数计算方法的比较

通过比较四种方法的计算过程可知,其主要区别如下:

(1)的取值范围;

(2)在令预测误差功率为最小时,是单独使为最小,还是使之和为最小;

(3)是先估计自相关函数再求解还是直接由数据递推求解。

归纳四种 AR 模型参数求解方法,见表1。
表1 四种AR模型参数求解方法的比较

求解方法

数据开窗

(的取值范围)

最优准则
算法特点

自相关法

数据前后加窗
相对于

AR参数最小

①估计自相关函数;

②Levinson递归求解Yule-Walker方程,得到;

③计算功率谱。

协方差法

不对数据作

人为假设①直接由数据估计模型参数(令或相对都为最小,);

②计算功率谱,与自相关法③相同。

改进

协方差法
相对于AR参数

最小
Burg法
相对于各阶

反射系数最小

①直接由数据求解(令相对为最小,);

②③与自相关法相同。

4 AR模型谱估计的性能分析

4.1 性能比较

通过白噪声激励线性系统产生的随机序列作为仿真数据,比较四种参数求解方法的性能。考虑AR过程:



其中,,是单位方差白噪声。令,产生的的样本序列,即采样点数为64。

1、计算自相关序列的估计,并与真实的自相关序列值比较

由公式得到自相关序列估计值;通过逆 Levinson-Durbin递归方法计算真实的自相关值,即由参数、得到,其中为滤波器的阶数,再采用公式外推得到的自相关值。

自相关序列的估计与真实自相关序列值的比较见图1,由图可知估计值与真实值存在一定的误差,但整体变化趋势相差不大。
图1 自相关序列的估计与真实自相关序列值的比较

2、真实功率谱、经典谱估计(周期图法)与 AR 模型谱估计(自相关法)的比较

真实功率谱由下式得到:



周期图法估计的功率谱与自相关法估计的功率谱的比较见图2,由图可知,周期图能辨认出两个峰值,而自相关法不能,说明周期图的分辨率大于自相关法。
图2 真实谱、周期图谱及自相关法AR谱估计的比较

式(19)中,可用FFT算法得到。由图2可知,周期图能辨认出两个峰值,而自相关法不能,说明周期图的分辨率大于自相关法。

3、四种参数求解方法的准确度比较

利用自相关法、协方差法、Burg 法和改进的协方差法求解样本序列的 AR 模型参数,并与真实值进行比较,得到四种求解方法的准确度。步骤如下:

(1)利用和 Yule-Walker 法,得到和;

(2)代入公式(3),得到 AR 模型功率谱估计:



(3)将(2)得到的功率谱估计与实际功率谱进行比较,画出其重叠波形;

(4)重复步骤(1)~(3),只是在估计 AR 模型参数时分别采用协方差法、Burg 方法和修正协方差法;

(5)比较四种参数求解方法的功率谱估计精度。
(a)
(b)

图3 周期图法估计AR(4)过程的功率谱
(a)
(b)

图4 自相关法估计AR(4)过程的功率谱
(a)
(b)

图5 协方差法估计AR(4)过程的功率谱
(a)
(b)

图6 Burg法估计AR(4)过程的功率谱
(a)
(b)

图7 修正协方差法估计AR(4)过程的功率谱

图3~图7的(a)部分分别为采用周期图法、自相关法、协方差法、Burg方法、修正协方差法进行功率谱50次估计的交叠图,(b)部分给出了其整体平均及真实的功率谱。由这些图可以看出,对于这一AR(4)过程,除自相关法外,所有估计都能分辨出两个峰值,且峰值的位置大致相似。此外,周期图法的方差大于其它估计方法。

表2为采用自相关法、协方差法、Burg 方法、修正协方差法得到的和,表中平方误差和的计算公式为。由表可知,自相关法估计的模型参数与真实值相差较大,协方差法、Burg 法和修正协方差法参数估计的性能相当。

表2 各种方法估计的a参数和b参数
a(1)

a(2)

a(3)

a(4)

b(0)

平方误差和

真实值

2.7607

-3.8106

2.6535

-0.9238

1

0

自相关法

1.5371

-1.3212

0.36348

-0.13437

4.7289

13.5619

协方差法

2.7324

-3.7373

2.5794

-0.88852

设为1

0.0129

Burg方法

2.7083

-3.6699

2.5098

-0.8569

设为1

0.0477

修正协方差法

2.7071

-3.6675

2.5069

-0.85566

设为1

0.0495

4.2 进一步讨论

以上讨论了 AR模型参数估计的四种算法,即自相关法、协方差法、Burg 算法和修正协方差法. 为了进一步比较AR模型阶次增大、信噪比减小、信号之间存在相位差时,这些算法的性能差异,我们生成方差为 1 的零均值高斯白噪声,数据包括单个或两个相距的不同频率正弦序列和加性白噪声,在给定模型阶次和参数条件下进行计算机仿真实验. 

图8表示在 AR模型阶次 p=4,信噪比 SNR=20dB,两个正弦频率相距 0.13Hz,在样点总数 N=20的情况下,三种算法对功率谱估计的比较. 由图8可见,(修正)协方差方法最好,谱峰的位置及尖锐程度与信号频率位置相符,Burg 算法很接近修正协方差方法(频率略有偏移) ,而自相关法由于进行自相关序列估计时仍对以外的数据作为零的假设,估计的功率谱平滑,谱峰不尖锐且偏移较大,效果较差. 当两个频率的距离减小到 0.07Hz,以致自相关法谱估计分辨不出谱峰所在的位置,如图8(b)所示. 所以 Burg 算法和 修正协方差方法对短数据序列谱估计都能取得较好的效果,适于短序列的谱估计. 当然,随着样点总数的增加,三种算法的估计质量都有所改善。
(a)
(b)

图8 四种AR谱估计算法对功率谱估计的比较

然而,Burg 算法由于它的递推仍然受 自相关法的约束,因此仍存在明显的缺点,如图9所示. 图9(a)表示 Burg 算法,在较高信噪比的情况下随着阶次增加(p=16)出现谱线分裂,和由于初相的影响使位置产生偏移. 图9(b)表示 Burg 算法在一定信噪比下因阶次增高后出现伪峰. 

 

(a)谱线分裂
(b)伪峰

图9 Burg 算法由于阶次太高对谱估计的影响

上面的仿真结果表明,虽然修正协方差方法的运算量比较大,但是它的性能是最好的,基本上克服了谱线分裂、频率偏移和出现伪峰等缺点,提高了谱的分辨能力。

5结论

通过仿真分析可知,在自相关法、Burg 法、协方差法和改进的协方差法四种AR模型参数估计中,自相关法计算最为简单,但谱估计的分辨率较差;Burg 算法的递推过程是建立在数据序列基础上的,避免了序列自相关函数的估计,与自相关法相比,具有较好的频率分辨率;协方差法存在稳定性方面的问题,应用较少;改进协方差法基本上克服了谱线分裂、谱峰偏移和出现伪峰等缺点,提高了谱的分辨率,但此算法同样不能保证AR模型稳定,并且所需的运算量也偏大,同时在低信噪比情况下,即使采用改进协方差法,用AR模型谱也很难准确估计淹没在噪声中的正弦波频率。实际应用中,Burg法得到了广泛的应用。
参考文献:

[1] 胡广书. 数字信号处理. 理论、算法与实现[M].(第二版).北京:清华大学出版社,2003:527-556.

[2] 陈海英.AR模型功率谱估计常用算法的性能比较[J].漳州师范学院学报:自然科学版,2009:48-52.

[3]沈志远.复杂背景下目标声信号特征提取及其关键技术研究[D].硕士学位论文.中北大学,2010.

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